题目：若 $a>0,b>0$，且
则判断下列选项的正误：
A: $a>b$ ； B: $a<b$ ； C: $2a>b$ ； D: $2a<b$。
解答
由已知等式两边同除以 $(a+1)(b+2)$，得到
$$
\frac{e^a}{a+1}=\frac{e^b+1}{b+2}.
$$
记
$$
f(x)=\frac{e^x}{x+1},\qquad g(x)=\frac{e^x+1}{x+2}\qquad(x>0).
$$
（1）证明 $a<b$
先考察 $f(x)-g(x)$：
$$
\begin{aligned}
f(x)-g(x)
&=\frac{e^x}{x+1}-\frac{e^x+1}{x+2}
&=\frac{e^x(x+2)-(e^x+1)(x+1)}{(x+1)(x+2)}
&=\frac{e^x-(x+1)}{(x+1)(x+2)}.
\end{aligned}
$$
对于 $x>0$ 有 $e^x>x+1$，因此分子 $>0$，故对一切 $x>0$ 有 $f(x)>g(x)$。
由题中等式可写成 $f(a)=g(b)$。由于对同一 $b$，$g(b)<f(b)$，因此
$$
f(a)=g(b)<f(b).
$$
又 $f’(x)=\dfrac{e^x x}{(x+1)^2}>0$ 对 $x>0$ 成立，所以 $f$ 在 $(0,\infty)$ 上严格递增。由 $f(a)<f(b)$ 得出 $a<b$。
因此选项 B：$a<b$ 正确。
（2）证明 $2a>b$
我们要证明 $2a>b$，等价于证明 $a>\dfrac b2$。考虑比较 $f(b/2)$ 与 $g(b)$。设 $t=e^{b/2}>1$，则
$$
f\Big(\frac b2\Big)=\frac{e^{b/2}}{b/2+1}=\frac{t}{b/2+1},\qquad
g(b)=\frac{e^b+1}{b+2}=\frac{t^2+1}{b+2}.
$$
比较两者（两边乘以 $b+2>0$）等价于
$$
2t<b+2\quad\text{与}\quad t^2+1
$$
的比较，更简洁地整理为
$$
2t<t^2+1 \quad\Longleftrightarrow\quad 0<t^2-2t+1=(t-1)^2,
$$
对 $t>1$ 恒成立。于是得到
$$
f\Big(\frac b2\Big)<g(b)=f(a).
$$
由于 $f$ 严格递增，$f(b/2)<f(a)$ 蕴含 $\dfrac b2<a$，即 $2a>b$。
因此选项 C：$2a>b$ 正确。
结论
正确的选项为 B（$a<b$）和 C（$2a>b$）。