证明：
$$\frac{sin(x^2)}{sin(x)}>x,(0<x<1)$$
① 不等式等价变形
由于 $0<x<1$ 时 $\sin x > 0$，两边同乘以 $\sin x$，不等式等价为
$$
\sin(x^2) > x \sin x
$$
进一步两边同除以 $x^2>0$，得到
$$
\frac{\sin(x^2)}{x^2} > \frac{\sin x}{x}
$$
② 引入辅助函数
定义函数
$$
h(t) = \frac{\sin t}{t}, \qquad t>0
$$
如果我们能证明 $h(t)$ 在 $(0,1]$ 上是严格单调递减的，那么由于 $0<x^2<x$，就有
$$
h(x^2) > h(x)
$$
这恰好等价于
$$
\frac{\sin(x^2)}{x^2} > \frac{\sin x}{x}
$$
③ 证明 $h(t)$ 单调递减
对 $h(t)$ 求导：
$$
h’(t) = \frac{t\cos t - \sin t}{t^2}
$$
为了确定导数符号，考虑分子
$$
q(t) = \sin t - t\cos t
$$
对 $q(t)$ 求导：
$$
q’(t) = \cos t - \cos t + t\sin t = t\sin t > 0 \quad (t>0)
$$
由于 $q(0)=0$ 且 $q’(t)>0$，可知 $q(t) > 0$ 对任意 $t>0$ 成立，即
$$
\sin t - t\cos t > 0
$$
从而
$$
t\cos t - \sin t < 0
$$
因此
$$
h’(t) < 0 \quad (t>0)
$$
这说明 $h(t)$ 在 $(0,\infty)$ 上严格递减。
④ 结论
由于在 $0<x<1$ 时有 $x^2 < x$，由 $h(t)$ 的单调递减性可得：
$$
h(x^2) > h(x)
$$
即
$$
\frac{\sin(x^2)}{x^2} > \frac{\sin x}{x}
$$
从而
$$
\frac{\sin(x^2)}{\sin x} > x .
$$